미분귀신, 적분귀신 (그 유명한 이야기와 풀이까지)

이걸 보고 나오는 함수를 모두 다 안다면 무지 재밌는 이야기가 되겠지만..

수학 자체만으로도 공포인 사람에게는 이 이야기는 아주 무시무시한 이야기가 될 것이다.... *^^*

(나름대로 각주를 달아 풀이한 파일 첨부합니다.)

 

====================================================================================

 

옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다.
그 마을의 이름은 자연수 마을. 즉 natural number village였다.
그런데 어느날 마을에 미분 귀신이 나타났다.
미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들었다.
마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네사람들이 반상회를 개최하였다.
몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 방정식 마을에 구원을 요청하기로 하였다.
이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 x^2장군을 자연수 마을에 급파하였다.
전투 시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 x^2장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신...
그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.
그러자 방정식 마을에서는 x^3장군을 급파하였다.
그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다.
단 4번의 미분에 그만 작살이 나고야 말았다.
당황한 방정식 마을에서는 x^n참모총장마저 보내는 초강수를 택하였으나
그 역시 n+1 번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다.
이제 아무도 미분 귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나....
방정식 나라에는 마지막 희망 sinx,cosx 두 장군이 있었다.
좌 sinx, 우 cosx 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다.
미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다.
아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는
sinx, cosx 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다.
그러나 그 순간 미분 귀신은 꾀를 내어 cosx 장군을 미분시켜 sinx 장군에게 던져버린 것이다.
마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부디쳐서 그만 자폭하고 말았다.
일이 이쯤 되자 방정식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.
그런데 전설적인 용병이 등장하였다. 그의 이름은 바로 exponential 검신이었다.
그가 가진 e^x 라는 무기는 미분
귀신이 수백번의 미분을해도 전혀 손상되지 않았기 때문이다.
미분귀신은 당황하기 시작하였다.
이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다.
하지만 끝내 그마저 미분 귀신에게 패하고 말았다.

글쎄....

그 미분귀신이...

y 로 편미분을 해버리고 말았던 것이다...

우리의 미분귀신이 exponential함수 e^x를 죽이고 미분에 싫증을 느낀 나머지 자연수 나라를 떠났다.
마침내 평화가 찾아온 자연수 나라.. 그러나, 아....! 평화란 지속될 수 없는가?
이번에는 이 나라에 적분귀신이 나타나 자연수들을 닥치는 대로 적분을 시작했다!
적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면,
출처가 불분명한 C(적분상수)라는 것들을 대량으로 만들어내었고,
심지어는 x로 적분한뒤 다시 y로 적분해 xy라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는 것이었다
이제야 평화가 오는가 했던 자연수 나라의 촌장은 아연실색을 하며
옆 마을 다항식의 나라에 도움을 청했다. 그러나 다항식의 나라는
적분귀신은 자국에 도움이 된다며 이를 거절했다. 심지어 '적분귀신을 환영합니다'
라는 플랭카드를 내걸기도 하였다. 자연수왕은 얼마 안 남은 순수 자연수들을 모아
대책회의를 열었다. 회의 결과 다시 미분귀신을 불러야 한다는 의견이 나왔다.
그러나 미분귀신을 부르면 그들조차 막대한 피해가 있기에 그들 사이에서도 의견이 분분했다.
결국 미분귀신을 부른 후 순수 자연수들만 비밀 아지트에 숨기로 하고 미분귀신을 불렀다.
다시 자연수 마을에 온 미분귀신..!
일단 상수 C들을 닥치는 대로 죽이고, 다항식들을 죽이기 시작했다.
거의 모든 다항식들이 죽어갈 무렵, 미분귀신 앞에 적분귀신이 나타났다.

적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자"
미분귀신 "좋다(흐흐.. 내겐 편미분이라는 무기가..)"

그.러.나...

적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수 다항식
Lim a1*a2*....*an 이었다.
n->∽
아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들..

미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오..-_-;;"
적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!"

눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가...

미분귀신 "어.. 어떻게?-_-;;;"
적분귀신 "......."

그렇다...
적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다...

적분귀신은 정말 대단했다.
승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할만한 상대가 자연수 마을에서는 더이상 존재하지 않았다.
여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여 적분귀신을 물리칠 동지를 찾아 나섰다.
정수마을, 유리수마을, 실수마을, 심지어 그 복잡하다는 복소수(complex number)마을까지...
그러나 미분귀신은 더이상 동지를 찾을 수 없는듯 했다.

"수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는것인가?..."

자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다.
실수 및 복소수 마을에서 continuous function들이
어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산 조각이 나는 것이었다.
"저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다.
자세히 보니 그놈은 delta function 였다.
연속함수들을 sampling을 통해 discrete function으로 만들고 있었던 것이다.
며칠 후...
자연수 마을로 돌아온 미분귀신은 델타함수를 적분귀신 앞에 내놓았다.
적분귀신은 자신의 비장의 무기인 0에서 0까지 정적분을 사용했다.
그러나 delta function은 사라지지 않고 1을 남겼다.
delta function은 정말 대단했다.
특이하게도 0(-0)에서 0(+0)까지 정적분을 하면 1이되는 것이었다.
순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다.
그러자 1이 사라졌다.
이때 나선 미분귀신은 delta function을 무한번 미분해주기 시작했다.
적분귀신이 아무리 아무리 0에서 0까지 정적분을 시도해도
미분을 통해 계속 delta function의 변종들이 나타나는 것이었다.
적분귀신은 드디어 두손두발, 아니 두 인티그랄(integral)을 다 들고 말았다.
미분귀신과 delta function의 연합전선은 정말 대단했다.
그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에
그들은 사라지고 말았다.
"무슨일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다.
...
...
...
그 거대한 못짓.
그는 말 한마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는
거의 신적인 존재였다.
그는 바로 '정의(definition)귀신'이었다.
미분귀신과 델타함수가 열심히 ally를 해도
마지막에 정의귀신이 "= 0" 한마디면 끝나는 것이었다.

과연 정의귀신을 대적할 자가 이세상에 존재할른지...

 

doc.zip

0.01MB